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進行研究的——在性質上跟數學家們自己較近的工作頗為類似。因此，康托爾作為基礎用以建立集合論的那種一一對應關係我們從遠古年代的物物交換（用一個物體換取另一個物體）中就已經知道了，一一對應關係的形成在兒童甚至在較高階的脊椎動物身上都是可以詳細考察到的。布林巴基的三個“矩陣結構”，其初級的但又是清晰的形式可以在兒童的具體運演階段上觀察到（《研究報告》第十四卷）。麥克雷恩和愛倫堡的“範疇”概念從“組成性功能”的水平（見本書第一章第Ⅲ節）上起就可以在兒童身上應用：這種應用無疑地是在瑣碎的意義上講的，但它表明了範疇的基本結構（有其蘊含的功能和有限組合的一類客體的基本結構；見《研究報告》第十三卷）的普遍性。

數學的認識論有三個傳統的主要問題：數學雖然是奠基於極少數內容相當貧乏的概念或公理之上，為什麼卻這樣富有成效呢；儘管數學具有建構特性，這可能成為不合理性產生的根源，但為什麼數學仍然具有必然性從而保持著恆常的嚴格性呢；儘管數學具有完全是演繹的性質，為什麼數學跟經驗或物理現實是符合一致的呢？

A。在解決了對邏輯作同語反覆的解釋之後，我們將把數學的富有成效性視為是當然的。無論如何，數學上的同語反覆概念純粹是一種字面上的假設。它之得到公認還是沒有能解釋清楚下述這件事情到底是怎麼回事，即經過了二十五個世紀之久，為什麼仍然有可能以無窮無盡的料想不到的方式來論述同樣一些東西呢。這是一個歷史評論的問題，同樣也是一個心理發生學的問題：在數學研究的過程中相繼產生的一些新形式既不是什麼新發現，因為它們是跟以前未曾給出的現實有關，也不是什麼創造，因為一種創造暗示著某種程度的自由，而每個新數學關係或新結構從它構成的瞬間起就都具有必然性；正是這個“必然的建構”引起了關於它的組成機制問題。而發生學的研究能對這個引起爭論的問題作出有意思的貢獻，因為發生學的研究顯示出，在數學家關於組成機制所講到的東西跟兒童發展早期階段所表現出的東西之間具有某種會合一致關係；因此發生學的研究對這些建構的心理根源，甚至生物根源，提出了可能的假說。

數學家一般把這些創新歸因於存在著在運演的基礎上引入無限數量的運演的可能性。在建構E和F兩個集（這已經就是透過運演將客體組合起來）時，我們能把E中的一個x“運用到”F中的一個（而且僅僅是一個）y，從這裡就出現了一種函式運演，它可以是一一對應的（在單一的x對應於y的情況下），也可以不是這樣（在有好幾個x對應於y的情況下）。E×F這個積，我們可以從E、F這兩個集形成；我們也可以透過等值關係的分割來形成它們的商集（例如，把“同胞”關係應用於“人類”這個集，就產生了“民族”這個集）。用同樣的方式，我們可以用組合辦法從每一個集匯出其“所有子集的集”，或者透過重複這些運演以得到建基於E和F之上的集的階梯式體系。特別是，不管基礎集的性質如何，我們都能夠透過把對這些集進行運演所得到的共同特性抽象出來，而建構結構，於是就可以藉助於理論來把這些結構作相互比較，如果存在著同構性（比如在歐幾里得幾何和實數理論之間）那麼這些結構就是單值的，而在別的情況下（群和拓樸學）結構則是多值的①。所以全部數學都可以按照結構的建構來考慮，而這種建構始終是完全開放的。標誌著近代數學巨大進展的這種觀點的改變，其最顯著的跡象是那個與數學“實體”這個術語開始有了聯絡的新意義。數學實體已不是從我們內部或外部一勞永逸地給出的理想客體了：數學實體不再具有本體論的意義；當數學實體從一個水平轉移到另一個水平時，它們的功能會不斷地改變；對這類“實體”進行的運演，反過來，又成為理論研究的對