第11部分(第1/4 頁)

C。從自然結構的形式化跟自然結構心理發生學上的發展二者之間的關係這個觀點來看，重提一下如下事實是很有啟發的，即：儘管形式化有其獨立性和威力，但現在已經證明它具有確定不移的侷限性（參看戈德爾、塔斯基、丘奇、克利恩、圖靈、勒文海姆－斯科萊姆等人的著作）。雖然這些侷限性是可以替換的，因而是隨著結構的向前發展而減少的，但它們在下列意義下仍然是真實的，即：非常徹底的形式理論，如果只根據它自身的體系，是既不能證明它本身的無矛盾性，也不能證明其所有定理的可判定性的，它還需要以“更強的”體系作為基礎來作出這種證明。由於更強的結構只能跟在它以前的結構之後出現（例如，超窮算術之出現在初等算術之後），在階梯式體系中最簡單的結構又總是最弱的結構（在這裡就是羅素的《數學原理》的邏輯對於初等算術的關係），我們覺得我們自己面臨著兩個看來多半與發生學的看法有聯絡的基本事實：（a）存在著把結構按其“強度”排列的階梯式體系，（b）需要對結構作建構主義的處理，因為結構的系統不能正確地比喻為建立在其臺基上的靜止的金字塔，而只能比作其高度在不斷地增加的螺旋體。

如果情況是如此，我們怎麼能解釋形式化的可以替換的侷限性呢？我們猜想，形式化跟發生學的建構具有類似性，這種類似性提供了一個解答：形式和內容的概念在本質上是相對的，形式或形式化結構是不能達到一種完全的自主性的。在心理發展領域裡，這是清楚的：感知運動結構對它們所調整的簡單運動而言是形式，但對下一水平的內化了的和概念化了的活動而言則是內容；“具體”運演對上面這些活動來說是形式，但對十一歲到十五歲時已出現的形式化運演來說則是內容；再者，這些形式化運演對於在以後各水平上應用於它們的那些運演來說又只不過是內容了。同樣地，在戈德爾所提出的例子中，初等算術是形式，它把類和關係邏輯包括進來作為其內容（數是歸類和序列化的綜合，見本書第一章，第五節），而初等算術本身作為可數的東西的冪，則是超窮算術的內容。

如果情況是這樣，人們就會看到，形式必然是會有侷限性的，這就是說，在沒有整合到一個更全面的形式中去時，它不能保證自身的前後一致性，因為它的存在本身是從屬於整個建構過程的，它只是這個過程的一個特殊方面。讓我們舉一個沒有數那麼專門的例子。在具體運演水平上，我們能在分類和序列化之間分析出某些隱含的關係來：在下述分類中，A＋A′＝B，B＋B′＝C，等等，把低階（這是與A′，B′，C′等等相對立的類）歸到高階類中去的先後順序，就是一個序列化過程：（A＜B＜C…）；相應地，人們也能以同樣方式把一個級數的各項組合起來（第一、二兩項構成的這個類把第一項包括在內，第一、二、三三項構成的這個類，又把前兩項包括在內，如此等等）。然而，只要INRC群尚未建構成，就不可能把類和關係這兩個“群集”的集聯合到一個其反演和互反性獲得了協調的、唯一的形式化體系之中：因此只要它們還沒有整合到一個“更強的”結構之中，它們的形式化就仍然是不完全的。

這些意見該已表明，在研究邏輯認識論的重要問題時把發生學的研究方法考慮進去，是不會有什麼損失的，而且也許會大有所得。但是我們應該小心地把邏輯的認識論同邏輯學家的論證技術區別開來。在後者那裡心理發生學顯然是沒有什麼地位的。

二、數學的認識論

克羅內克把“自然數”稱做上帝的恩賜，同時宣稱其餘都是人類活動的成果，是要用前科學的起源來予以說明的。但是他從來沒有真正搞清楚，這些人類成果——這是能夠在“原始”社會中，在兒童身上，以及在上帝所創造的其他生物（不要忘了奧托·苛勒的鸚鵡）身上