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看來我們在前進的路上仍然需要保持十二分的小心。

飯後閒話：第五公設

馮諾伊曼栽在了他的第五個假設上，這似乎是冥冥中的天道迴圈，2000年前，偉大的歐幾里德也曾經在他的第五個公設上小小地絆過一下。

無論怎樣形容《幾何原本》的偉大也不會顯得過分誇張，它所奠定的公理化思想和演繹體系，直接孕育了現代科學，給它提供了最強大的力量。《幾何原本》把幾何學的所有命題推理都建築在一開頭給出的5個公理和5個公設上，用這些最基本的磚石建築起了一幢高不可攀的大廈。

對於歐氏所給出的那5個公理和前4個公設（適用於幾何學的他稱為公設），人們都可以接受。但對於第五個公設，人們覺得有一些不太滿意。這個假設原來的形式比較冗長，人們常把它改成一個等價的表述方式：“過已知直線外的一個特定的點，能夠且只能夠作一條直線與已知直線平行”。長期以來，人們對這個公設的正確性是不懷疑的，但覺得它似乎太複雜了，也許不應該把它當作一個公理，而能夠從別的公理中把它推匯出來。但2000年過去了，竟然沒有一個數學家做到這一點（許多時候有人聲稱他證明了，但他們的證明都是錯的）！

歐幾里德本人顯然也對這個公設感到不安，相比其他4個公設，第五公設簡直複雜到家了（其他4個公設是：1，可以在任意兩點間劃一直線。2，可以延長一線段做一直線。3，圓心和半徑決定一個圓。4，所有的直角都相等）。在《幾何原本》中，他小心翼翼地儘量避免使用這一公設，直到沒有辦法的時候才不得不用它，比如在要證明“任意三角形的內角和為180度”的時候。

長期的失敗使得人們不由地想，難道第五公設是不可證明的？如果我們用反證法，假設它不成立，那麼假如我們匯出矛盾，自然就可以反過來證明第五公設本身的正確性。但如果假設第五公設不成立，結果卻導致不出矛盾呢？

俄國數學家羅巴切夫斯基（n。lobatchevsky）正是這樣做的。他假設第五公設不成立，也就是說，過直線外一點，可以作一條以上的直線與已知直線平行，並以此為基礎進行推演。結果他得到了一系列稀奇古怪的結果，可是它們卻是一個自成體系的系統，它們沒有矛盾，在邏輯上是自洽的！一種不同於歐幾里得的幾何——非歐幾何誕生了！

從不同於第五公設的其他假設出發，我們可以得到和歐幾里得原來的版本稍有不同的一些定理。比如“三角形內角和等於180度”是從第五公設推出來的，假如過一點可以作一條以上的平行線，那麼三角形的內角和便小於180度了。反之，要是過一點無法作已知直線的平行線，結果就是三角形的內角和大於180度。對於後者來說容易想象的就是球面，任何看上去平行的直線最終必定交匯。比方說在地球的赤道上所有的經線似乎都互相平行，但它們最終都在兩極點相交。如果你在地球表面畫一個三角形，它的內角和會超出180度，當然，你得畫得足夠大才測量得到。傳說高斯曾經把三座山峰當作三角形的三個頂點來測量它們的內角和，但似乎沒有發現什麼，不過他要是在星系間做這樣的測量，其結果就會很明顯了：星系的質量造成了空間的明顯彎曲。

羅巴切夫斯基假設過一點可以做一條以上的直線與已知直線平行，另一位數學家黎曼則假設無法作這樣的平行線，創立了黎曼非歐幾何。他把情況推廣到n維中去，徹底奠定了非歐幾何的基礎。更重要的是，他的體系被運用到物理中去，並最終孕育了20世紀最傑出的科學巨構——廣義相對論。

第十章　不等式五

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玻姆的隱變數理論是德布羅意導波的一個增強版，