第52章 我！陸時羨！寶刀未老(第1/2 頁)

第一題是一道代數題，an是一道多項式之和，求證：當正整數n≥2時，a（n+1）＜an。

剛看見這題的時候，陸時羨還有些沒有思路，於是一下子就頓在那裡了。

畢竟純粹的代數題，非常考驗人的邏輯聯絡思維能力。

難道連第一道證明題都做不出來？這已經是最簡單的了。

陸時羨忽然緊張起來，如果連第一題都做不出來，絕對是對他後面題目解答的一個巨大打擊。

他輕吐一口氣，慢慢迫使自己平靜下來。

越是緊張越不能著急。

陸時羨再次審題，忽然發現自己陷入了一個誤區，證明這種比大小的題目，何必將其分別代入後再比呢？

他只需要轉換一下思維方式。

A與B比大小也可以轉換成A與B比差或者A與B比商。

如果A-B最後的結果大於零，或者A/B的結果大於1，那就可以說明A大於B.

想到這，陸時羨的眼睛越來越亮。

他在草稿紙上飛快地驗算，對於an式，可以利用乘法分配律將n+1單獨分離出來。

再得出對任意的正整數n≥2，an-a（n+1）最後的簡化式。

最後證明簡化式大於零。

故a（n+1）＜an。

此題得證。

將這道題解決，陸時羨長鬆一口氣，開始看下一題。

第二題是一道平面解析幾何。

題目大意是對勾函式和一條直線得到的兩個交點，然後求交點在對勾函式上兩條切線的交點軌跡是多少？

不得不說，如果邏輯思維能力不夠，光是看題目就足夠讓你看暈了。

不過說起來，這種題還是陸時羨的強項，他在數學裡最擅長的就是將圖形轉化成代數。

無非就是求交點的座標。

根據給出的條件聯立方程組，由題意知，該方程在(0，+∞)上有兩個相異的實根x1、x2，故k≠1，且Δ（1）式\u003d1+4(k?1)＞0，兩個實根之和（2）式與之積（3）式都大於零。

由此可以得出直線的斜率k的取值範圍，最後對對勾函式進行求導

化簡得到直線l1和l2的方程（4）式和（5）式

（4）式-（5）式得xp的函式表示式（6）式

將(2)(3)兩式代入(6)式得xp\u003d2

(4)式+(5)式得yp的函式表示式（7）式

將(2)(3)的組合式代入(7)式得2yp\u003d(3?2k)xp+2，而xp\u003d2，得yp\u003d4?2k

根據斜率k的取值範圍2＜yp＜2.5

即點P的軌跡為(2，2)，(2，2.5)兩點間的線段（不含端點）

陸時羨寫完這題，考試時間已經只剩下四十分鐘了。

第二道大題還真的不難，思路很簡單，就是計算過程有些複雜，同時也比較費時間，光這一個題目就花了他幾十分鐘。

來不及吐槽，陸時羨趕緊望向第三大題，

設函式f(x)對所有的實數x都滿足f(x+2π)\u003df(x)。

求證：存在4個函式fi(x)(i\u003d1，2，3，4)滿足：

（1）對i\u003d1，2，3，4，fi(x)是偶函式，且對任意的實數x，有fi(x+π)\u003dfi(x)；

（2）對任意的實數x，有f(x)\u003df1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x。