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實際的量子力學的發展，即數學的理論，於1924年到1927年才開始。起初，有兩種看起來不相同的途徑：一是維爾納•海森堡(werner heisenberg)發現的矩陣力學和歐文•薛丁格(er schrodr)發現的波動力學。然而，事實表明這是一個單獨理論的兩個不同方面，後來被稱為量子力學。這個沒有被定義的現象是被保羅•狄拉克(paul dirac)發現的。在矩陣力學中，物理量如粒子的位置，不是用數字表示，而是用數學量來表示，如矩陣。矩陣力學對於處理相應能量水平的小數的情況有用，如在磁場中的定角動力。

波動力學對於能量水平的數目無限大的情況更有用，如原子中的電子。這個是建立在路易斯•德布洛意(louis debroglie)的早期理論之上的，即粒子如電子與它們的聯絡成波狀。波的波段(h)、伽瑪(&gaa;)與質量()和速度(v)有聯絡，粒子與伽瑪的聯絡是&gaa;=h/v。這可以推斷出電子以十分之一光速移動，如電視映象管產生的那些，波長大約10(-10)米，或者約為在透明固體中原子之間的距離。德布洛意的預測被柯林頓•戴維斯森(clton davisn)和喬治•湯姆斯(e thon)證實。他們讓電子波穿過了金屬球，隨即產生了衍射圖案，跟x射線產生的一樣。

1925年，歐文•薛丁格發展了方程式，現在以他的名字命名。這個方程式描述了電子如何與波動聯絡起來或者其他亞原子粒子在各種不同作用力的影響在空間和時間中的運動情況。這個方程式有多種解答方式，而且薛丁格強調對於一個粒子系統，其解答結果必須滿足任何位置。當遇到電子在氫原子中的情況時，薛丁格方程式能馬上給出準確的能量值，像以前波爾算出的一樣，這個方程式能適應更複雜的原子，甚至完全沒有被原子束縛的粒子。在很多例子中發現薛丁格方程式能給出粒子行動的準確描述，也證實了粒子沒有在接近光的速度下運動。

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